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Criptografía Cuántica – Introducción (Parte II)

Posted by jayzeegp en abril 14, 2012

Se van a publicar una serie de entradas tratando el tema de la criptografía cuántica. Lamentablemente no soy un experto en este campo, pero lo estoy estudiando para realizar un trabajo, por lo que las correcciones y la crítica constructiva serán bienvenidas.

En primer lugar se hará una introducción al tema abordando algunos conceptos previos que durará 2 entradas, aquí está la segunda parte.

La primera parte puede encontrarse aquí:

Introducción

Superposición cuántica

Es la aplicación del principio de superposición a la mecánica cuántica. Ocurre cuando un objeto
posee simultáneamente” dos o más valores de una cantidad observable (por ejemplo, la posición o la
energía de una partícula).

Más específicamente, en mecánica cuántica, cualquier cantidad observable corresponde a un autovector de
un operador lineal hermítico. La combinación lineal de dos o más autovectores da lugar a la superposición
cuántica de dos o más valores de la cantidad. Si se mide la cantidad, entonces, el postulado de proyección
establece que el estado colapsa aleatoriamente sobre uno de los valores de la superposición (con una
probabilidad proporcional al cuadrado de la amplitud de ese autovector en la combinación lineal).
Inmediatamente después de la medida, el estado del sistema será el autovector que corresponde con el
autovalor medido.

El gato de Schrödinger

Propiedades como la superposición cuántica, son difíciles de asimilar mentalmente, dado que los objetos
“macroscópicos” con los que estamos acostumbrados a lidiar no las poseen. En el año 1935, el físico
Erwin Schrödinger concibió un experimento imaginario para exponer estas consecuencias.

Schcrödinger plantea un sistema formado por una caja cerrada y opaca que contiene un gato, una botella de
gas venenoso y un dispositivo que contiene una partícula radiactiva con una probabilidad del 50% de desintegrarse
en un tiempo dado, de manera que si la partícula se desintegra, el veneno se libera y el gato muere.

Al terminar el tiempo establecido, hay una posibilidad del 50% de que el dispositivo se haya activado y el gato
esté muerto, y la misma probabilidad de que el dispositivo no se haya activado y el gato esté vivo. Según los
principios de la mecánica cuántica, la descripción correcta del sistema en ese momento (su función de onda)
será el resultado de la superposición de los estados “vivo” y “muerto’‘ (a su vez descritos por su función de onda).
Sin embargo, una vez abramos la caja para comprobar el estado del gato, éste estará vivo o muerto (el sistema
habrá colapsado a uno de esos dos estados).

Ahí radica la paradoja. Mientras que en la descripción clásica del sistema el gato estará vivo o muerto antes de que
abramos la caja y comprobemos su estado, en la mecánica cuántica el sistema se encuentra en una superposición de
los dos estados posibles hasta que interviene el observador. El paso de una superposición de estados a un estado
definido se produce como consecuencia del proceso de medida, y no puede predecirse el estado final del sistema,
sólo la probabilidad de obtener cada resultado. La naturaleza del proceso sigue siendo una incógnita que ha dado
lugar a distintas interpretaciones de carácter especulativo.

Relación con la criptografía

Todo esto está muy bien pero, ¿qué tiene que ver todo esto con la criptografía?. En primer lugar, una de las
propiedades más importantes es que cada medida que quiera hacerse sobre el estado de uno de estos elementos
modificará ese estado, pudiendo determinarse que hubo un intento de intromisión.
En segundo lugar, contamos con el teorema de no clonación, propuesto por Dieks, Wootters y Zurek en
1982, que afirma la imposibilidad de copiar un estado cuántico desconocido de manera exacta,
debido a que en el intento de obtener información acerca de este estado, la misma medición provoca su modificación.
Esto hace que sea una ley de la naturaleza la que nos garantice la seguridad de los procolos de criptografía
cuántica, lo cual ofrece bastante seguridad.
En resumen, cualquier intento de obtener información sobre un sistema cuántico alterará ese sistema
de una manera descontrolada.

Qubit: el bit cuántico

La palabra qubit procede de “Quantum bit”, es decir, bit cuántico. El qubit es un sistema cuántico
con dos estados propios que sólo puede ser descrito correctamente mediante la mecánica cuántica, y en el que,
aunque puede estar en un continuo de estados, al medir cualquier propiedad observable, sólo son posibles dos
resultados, con una probabilidad determinada por el peso del estado propio correspondiente en la función
de ondas que describe el sistema.
El qubit se considera el análogo cuántico de un bit clásico, que se puede describir por mecánica clásica
y que también tiene sólo dos valores posibles, que se pueden manipular a voluntad de acuerdo con las leyes de la
mecánica clásica.
Al igual que ocurre con el bit, también se entiende por qubit la información que contiene ese sistema cuántico de
dos estados posibles. Por lo que el qubit es la unidad mínima de la teoría de la información cuántica.

Descripción matemática de un qubit

Es un vector de módulo unidad en un espacio vectorial complejo bidimensional. Los dos estados básicos de
un qubit son |0〉(ket cero) y |1〉 (ket uno), que corresponden al 0 y al 1 del bit clásico.
Pero además, el qubit puede encontrarse en un estado de superposición cuántica que sea combinación de los
dos estados, cosa que no ocurre en los bits clásicos (que sólo pueden tomar el valor 0 ó 1).
Esto se representa de la forma (α |0〉+ β|1〉).

Si quisiéramos representar el estado del gato de Schrödinger en un qubit, su función de onda sería:
Ψ = 0.50 |0〉 + 0.50 |1〉

Si se tienen dos qubits en el estado cero, se representa como |00〉, por lo que, al igual que con los
bits clásicos, pueden encontrarse palabras de varios qubits, por ejemplo |010111〉.

Entrelazamiento cuántico

Es una propiedad bajo la cual dos partes del sistema se encuentran ligadas de tal forma que ciertas modificaciones
sobre una de ellas afectarán a la otra. Esto será así aún cuando las dos partes del sistema estén alejadas
en el espacio y completamente desconectadas. El entrelazamiento es otra de las propiedades que son difíciles de
entender si nos basamos en el sentido común del mundo macroscópico, y que es más fácil entender desde su
descripción matemática.
Si tenemos una pareja de qubits de la forma |00〉, este estado es separable, en el sentido de que representa
el producto tensorial |0〉⊗ |0〉, lo cual quiere decir que podemos medir ambos qubits por separado
sin que la medida de uno afecte al otro.
Por ejemplo, el estado 1/√2 (|00〉 +|11〉) no se puede expresar como
factores que afecten por separado a ambos qubits: si medimos el primer qubit y le encontramos en
el estado |0〉 (lo que el estado arriba mencionado ocurrirá el 50 % de las veces),
el otro qubit estrá también en el estado |0〉. Estos estados se denominan entrelazados.
Siguiendo con el ejemplo del gato de Schrödinger, si el estado entrelazado mencionado arriba
representara el estado de dos gatos, representando el 0 que ha muerto y el 1 que está vivo,
si alguien mirara el primer gato (primer qubit) y encontrara que, lamentablemente, ha muerto
(lo que sería representado por el 0), podría saber con seguridad que el otro gato
también ha muerto (ya que el otro qubit tendría que ser cero).

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